Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD⊥AB于D點，∠BAC的角平分線交BC于，點E，交線段BD于點F．
（1）求證：AC•AF=AE•AD；
（2）試判斷線段DF與BE有怎樣的數量關系？請證明你的結論；
（3）若令線段DF的長為x，△BEF的面積為y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

（1）證明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ADF，
∴AC：AD=AE：AF，
∴AC•AF=AE•AD；

（2）解：線段DF=BE．理由如下：
過E作EM⊥AB于M點，如圖，
∴EM=EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM=AC
∵FD∥EM，
∴=，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴△CAB為等腰直角三角形，
∴AM=AC=BC=AD，EM=BE，
∴FD=BE•=BE；

（3）解：過F作FG⊥BC于點G，如圖，
∵CD和AE為△ABC的角平分線，
∴BF平分∠ABC，
∴FG=FD=x，
∴y=FG•BE=x•2x=x²．
分析：（1）由AE平分∠CAB得到∠CAE=∠FAD，易證得Rt△ACE∽Rt△ADF，則AC：AD=AE：AF，變形后即可得到結論；
（2）過E作EM⊥AB于M點，根據角平分線定理可得EM=EC，則Rt△AME≌Rt△ACE，得到AM=AC；再根據平行線分線段成比例定理得到=，根據等腰直角三角形的性質得到AM=AC=BC=AD，EM=BE，代入上式得到FD=BE•=BE；
（3）過F作FG⊥BC于點G，根據三角形的角平分線相交于一點由CD和AE為△ABC的角平分線得到BF平分∠ABC，則FG=FD=x，再根據三角形的面積公式即可得到y(tǒng)與x的關系．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩個角對應相等的兩三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了等腰直角三角形的性質、三角形的面積公式以及角平分線的性質．