(2013•山西模擬)問題背景  某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中,得到如下命題:
①如圖1,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=60°,則BM=CN.
②如圖2,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=90°,則BM=CN.
然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題:
③如圖3,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,若∠BON=108°,則BM=CN.

任務(wù)要求
(1)請你對命題③進(jìn)行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:如圖4,在五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、AE上的點(diǎn),BM與CN相交于點(diǎn)O,當(dāng)∠BON=108°時,請問結(jié)論BM=CN是否還成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)正五邊形性質(zhì)得出∠D=∠BCM=108°,BC=CD,求出∠CBM=∠DCN,根據(jù)ASA推出△BCM≌△CDN即可;
(2)連接CE,BD,根據(jù)正五邊形性質(zhì)得出∠AED=∠EDC=∠BCD=108°,ED=DC=BC,求出N、E、M、O四點(diǎn)共圓,求出∠ENC=∠BMD,證△BCD≌△CDE,推出BD=CE,∠DEC=∠BDC,求出∠NEC=∠MDB,根據(jù)AAS證△ECN≌△DBM,即可得出答案.
解答:(1)證明:∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠D=∠BCM=
(5-2)×180°
5
=108°,BC=CD,
∵∠BON=108°,
∴∠BON=∠CBM+∠BCN=108°,∠BCD=∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN,
在△BCM和△CDN中,
∠CBM=∠DCN
BC=CD
∠BCM=∠D
,
∴△BCM≌△CDN(ASA),
∴BM=CN.

(2)BM=CN還成立,
理由是:連接CE,BD,
∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠AED=∠EDC=∠BCD=108°,ED=DC=BC,
∵∠BON=108°,
∴∠NOM+∠AED=180°,
∴N、E、M、O四點(diǎn)共圓,
∴∠ENC+∠EMB=180°,
∵∠EMB+∠DMB=180°,
∴∠ENC=∠BMD,
在△BCD和△CDE中,
BC=DE
∠BCD=∠CDE
CD=CD
,
∴△BCD≌△CDE(SAS),
∴BD=CE,∠DEC=∠BDC,
∵∠EDC=∠AED=108°,
∴∠AED-∠DEC=∠CDE-∠CDB,
即∠NEC=∠MDB,
在△ECN和△DBM中,
∠ENC=∠DMB
∠NEC=∠MDB
CE=BD
,
∴△ECN≌△DBM(AAS),
∴BM=CN,
即BM=CN還成立.
點(diǎn)評:本題考查了四點(diǎn)共圓,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,正多邊形的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力.
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(1)連接AE,求證:△AEF是等腰三角形;
猜想與發(fā)現(xiàn):
(2)在(1)的條件下,請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,得出結(jié)論.
結(jié)論1:DM、MN的數(shù)量關(guān)系是
相等
相等
;
結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是
垂直
垂直
;
拓展與探究:
(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,則(2)中的兩個結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.

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2
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