已知,如圖,在平面直角坐標系中,點A坐標為(-2,0),點B坐標為 (0,2 ),點E為線段AB上的動點(點E不與點A,B重合),以E為頂點作∠OET=45°,射線ET交線段OB于點F,C為y軸正半軸上一點,且OC=AB,拋物線y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點.
(1) 求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2) 求證:∠BEF=∠AOE;
(3) 當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
(4) 在(3)的條件下,當直線EF交x軸于點D,P為(1) 中拋物線上一動點,直線PE交x軸于點G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的()
倍.若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補充圖形,以便作答.
(1)y=-x2-
x+2
(2)證明見解析(3)E坐標為E(-1, 1)或E(-
, 2-
)(4)P(0, 2
)或P (-1, 2
)
【解析】解:(1)∵A (-2, 0), B (0, 2),∴OA=OB=2 。
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。
∵OC=AB,∴OC=2, 即C (0, 2
)。
∵拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點,得
,解得:
。
∴拋物線的表達式為y=-x2-
x+2
。
(2)證明:∵OA=OB,∠AOB=90° ,∴∠BAO=∠ABO=45°。
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ,∴∠BEF=∠AOE。
(3)當△EOF為等腰三角形時,分三種情況討論
①當OE=OF時, ∠OFE=∠OEF=45°,
在△EOF中, ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°。
又∵∠AOB=90°,則此時點E與點A重合, 不符合題意, 此種情況不成立。
②如圖①,
當FE=FO時,∠EOF=∠OEF=45°。
在△EOF中,∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°,
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°�!郋F∥AO。
∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。
又∵ 由 (2) 可知 ,∠ABO=45°,∴∠BEF=∠ABO。
∴BF=EF�!郋F=BF=OF=OB=
×2=1 �!� E(-1, 1)。
③如圖②, 當EO=EF時, 過點E作EH⊥y軸于點H ,
在△AOE和△BEF中,
∵∠EAO=∠FBE, EO=EF, ∠AOE=∠BEF,
∴△AOE≌△BEF(AAS)�!郆E=AO=2。
∵EH⊥OB ,∴∠EHB=90°�!唷螦OB=∠EHB。
∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
在Rt△BEH中, ∵∠BEH=∠ABO=45° ,∴EH=BH=BEcos45°=2×=
。
∴OH=OB-BH=2-2。∴ E(-
, 2-
)。
綜上所述, 當△EOF為等腰三角形時,點E坐標為E(-1, 1)或E(-, 2-
)。
(4) P(0, 2)或P (-1, 2
)。
(1)應用勾股定理求出點C的坐標,根據(jù)點在曲線上,點的坐標滿足方程的關系,用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式。
(2)應用等腰直角三角形等邊對等角的性質(zhì)可證。
(3)分OE=OF,F(xiàn)E=FO,EO=EF三種情況討論即可。
(4)假設存在這樣的點P。當直線EF與x軸有交點時,由(3)知,此時E(-, 2-
)。
如圖③所示,過點E作EH⊥y軸于點H,
則OH=FH=2-。
由OE=EF,易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點,即DE=EF。
過點F作FN∥x軸,交PG于點N。
易證△EDG≌△EFN,因此S△EFN=S△EDG。
依題意,可得S△EPF=()S△EDG=(
)S△EFN,
∴PE:NE=。
過點P作PM⊥x軸于點M,分別交FN、EH于點S、T,則ST=TM=2-。
∵FN∥EH,∴PT:ST=PE:NE=。
∴PT=()ST=(
)(2-
)=3
-2。
∴PM=PT+TM=2,即點P的縱坐標為2
。
∴2=-
x2-
x+2
,解得x1=0,x2=-1。
∴P點坐標為(0, 2)或(-1, 2
)。
綜上所述,在直線EF上方的拋物線上存在點P,使得△EPF的面積是△EDG面積的()倍,點P的坐標為(0, 2
)或(-1, 2
)。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源:2012屆重慶萬州區(qū)巖口復興學校九年級下第一次月考數(shù)學試卷(帶解析) 題型:解答題
已知:直角梯形AOBC在平面直角坐標系中的位置如圖,若AC∥OB,OC平分∠AOB,CB⊥x軸于B,點A坐標為(3 ,4). 點P從原點O開始以2個單位/秒速度沿x軸正向運動 ;同時,一條平行于x軸的直線從AC開始以1個單位/秒速度豎直向下運動 ,交OA于點D,交OC于點M,交BC于點E. 當點P到達點B時,直線也隨即停止運動.
(1)求出點C的坐標;
(2)在這一運動過程中, 四邊形OPEM是什么四邊形?請說明理由。若
用y表示四邊形OPEM的面積 ,直接寫出y關于t的函數(shù)關系式及t的
范圍;并求出當四邊形OPEM的面積y的最大值?
(3)在整個運動過程中,是否存在某個t值,使⊿MPB為等腰三角形?
若有,請求出所有滿足要求的t值.
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科目:初中數(shù)學 來源:2013年浙江省湖州市中考數(shù)學模擬試卷(十一)(解析版) 題型:解答題
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