已知,點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動點(diǎn),射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用圖1,求證:PA=PB;
(2)如圖2,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),當(dāng)S△POB=3S△PCB時,求PB與PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點(diǎn)D,且滿足且∠PBD=∠ABO,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求OP的長.

【答案】分析:(1)作PE⊥OM,PF⊥ON,垂足為M、N,由四邊形內(nèi)角和定理可知∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,則∠EPF=∠APB,可證∠EPA=∠FPB,由角平分線的性質(zhì),得PE=PF,可證△EPA≌△FPB,得出結(jié)論;
(2)由(1)可知△PAB為等腰三角形,則∠PBC=(180°-∠APB)=∠MON=∠BOP,可證△PBC∽△POB,由S△POB=3S△PCB可知,PO=3PC,再利用相似比求解;
(3)作BH⊥OT,垂足為T,當(dāng)∠MON=60°時,∠APB=120°,由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°,又∠PBD=∠ABO,∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°,可求∠ABO度數(shù)為75°,從而∠OBP=105°,在△OBP中,∠BOP=30°,則∠BPO=45°,分別解Rt△OBH,Rt△PBH即可求OP.
解答:解:(1)作PE⊥OM,PF⊥ON,垂足為E、F
∵四邊形OEPF中,∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF+∠MON=180°,已知∠APB+∠MON=180°,
∴∠EPF=∠APB,即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB,
∴∠EPA=∠FPB,
由角平分線的性質(zhì),得PE=PF,
∴△EPA≌△FPB,即PA=PB;

(2)∵S△POB=3S△PCB,
∴PO=3PC,
由(1)可知△PAB為等腰三角形,則∠PBC=(180°-∠APB)=∠MON=∠BOP,
又∵∠BPC=∠OPB(公共角),
∴△PBC∽△POB,
=,
即PB2=PO•PC=3PC2,
=

(3)作BH⊥OT,垂足為H,
當(dāng)∠MON=60°時,∠APB=120°,
由PA=PB,得∠PBA=∠PAB=(180°-∠APB)=30°,
又∵∠PBD=∠ABO,∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°,
∴∠ABO=(180°-30°)=75°,則∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°,
在△OBP中,∵∠BOP=30°,∴∠BPO=45°,
在Rt△OBH中,BH=OB=1,OH=
在Rt△PBH中,PH=BH=1,
∴OP=OH+PH=+1.
點(diǎn)評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用.關(guān)鍵是通過運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的作圖,得出全等三角形,特殊三角形解題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動點(diǎn),射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用圖1,求證:PA=PB;
(2)如圖2,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),當(dāng)S△POB=3S△PCB時,求PB與PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點(diǎn)D,且滿足且∠PBD=∠ABO,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求OP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知, 點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動點(diǎn),射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使∠APB+∠MON=180°.

(1)利用圖1,求證:PA=PB;

(2)如圖2,若點(diǎn)的交點(diǎn),當(dāng)時,求PB與PC的比值;

(3)若∠MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點(diǎn),且滿足且,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求的長.

(1)(2)

(3)

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動點(diǎn),射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用圖1,求證:PA=PB;
(2)如圖2,若點(diǎn)的交點(diǎn),當(dāng)時,求PB與PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點(diǎn),且滿足且,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求的長.
(1)(2)
(3)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市考數(shù)學(xué)一模試卷 題型:解答題

已知, 點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動點(diǎn),射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使∠APB+∠MON=180°.

(1)利用圖1,求證:PA=PB;

(2)如圖2,若點(diǎn)的交點(diǎn),當(dāng)時,求PB與PC的比值;

(3)若∠MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點(diǎn),且滿足且,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求的長.

(1)(2)

(3)

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年安徽省中考數(shù)學(xué)模擬試卷(十)(解析版) 題型:解答題

已知,點(diǎn)P是∠MON的平分線上的一動點(diǎn),射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使∠APB+∠MON=180°.
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(3)若∠MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點(diǎn)D,且滿足且∠PBD=∠ABO,請借助圖3補(bǔ)全圖形,并求OP的長.

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞诲€濆畷顐﹀Ψ閿旇姤鐦庡┑鐐差嚟婵敻鎳濇ィ鍐ㄧ厴闁瑰鍋涚粻鐘绘⒑缁嬪尅鏀绘い銊ユ楠炲牓濡歌閸嬫捇妫冨☉娆忔殘閻庤娲栧鍫曞箞閵娿儺娓婚悹鍥紦婢规洟姊绘担铏瑰笡濞撴碍顨婂畷鏉库槈濮樺彉绗夊┑鐐村灦鑿ゆ俊鎻掔墛缁绘盯宕卞Ο鍝勵潔濡炪倕绻掗崰鏍ь潖缂佹ɑ濯撮柤鎭掑劤閵嗗﹪姊洪棃鈺冪Ф缂佺姵鎹囬悰顔跨疀濞戞瑦娅㈤梺璺ㄥ櫐閹凤拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欑粈鍐┿亜閺囧棗娲ら悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿鍔欓弻娑樷枎韫囷絾效闂佽鍠楅悷褏妲愰幘瀛樺闁告繂瀚烽埀顒€鐭傞弻娑㈠Ω閵壯冪厽閻庢鍠栭…閿嬩繆閹间礁鐓涢柛灞剧煯缁ㄤ粙姊绘担鍛靛綊寮甸鍌滅煓闁硅揪瀵岄弫鍌炴煥閻曞倹瀚�