【題目】已知E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上的點,且∠EAF=45°.
(1)如圖①求證:BE+DF=EF;
(2)連接BD分別交AE、AF于M、N,
①如圖②,若AB=6,BM=3,求MN.
②如圖③,若EF∥BD,求證:MN=CE.
【答案】(1)證明見解析;(2)①5;②證明見解析.
【解析】
(1)延長CB到G,使GB=DF,連接AG,求證△ABG≌△ADF,得∠3=∠2,AG=AF,進而求證△AGE≌△AFE,可得GB+BE=EF,所以DF+BE=EF.
(2)①如圖2,把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM′,連接NM′.就可以得出△ABM≌△ADM′,就有∠BAM=∠DAM′,就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N,由勾股定理就可以得出結(jié)論MN2=DN2+BM2;
②設(shè)正方形ABCD的邊長為a,求出MN,EC即可判斷;
(1)證明:證明:延長CB到G,使GB=DF,連接AG(如圖1),
∵AB=AD,∠ABG=∠D=90°,GB=DF,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠3=∠2,AG=AF,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠1+∠2=45°,
∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF,
∵AE=AE,∠GAE=∠EAF,AG=AF,
∴△AGE≌△AFE(SAS),
∴GB+BE=EF,
∴DF+BE=EF;
(2)①解:如圖2,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠ABM=∠ADN=45°.
把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM'.連結(jié)NM'.
∴△ABM≌△ADM′(旋轉(zhuǎn)不變性),
∴DM'=BM,AM'=AM,∠ADM'=∠ABM=45°,∠DAM'=∠BAM.
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°,
即∠NDM′=90°.
∵∠EAF=45°,
∴∠BAM+∠DAN=45°,
∴∠DAM′+∠DAF=45°,
即∠M′AN=45°,
∴∠M'AN=∠MAN.
在△AMN和△AM′N中
,
∴△AMN≌△AM′N(SAS),
∴M'N=MN.
∵∠NDM′=90°,
∴M'N2=DN2+DM'2,
∴MN2=DN2+BM2;
設(shè)MN=x,則DN=12﹣3﹣x=9﹣x,
∴x2=33+(9﹣x)2,
∴x=5,
∴NM=5;
②證明:如圖3中,設(shè)正方形ABCD的邊長為a.
∵EF∥BD,
∴∠CEF=∠CBD=45°,∠CFE=∠CDB=45°,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴CE=CF,
∴BE=DF,
∵AB=AD,∠ABE=∠ADF,BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE=∠DAF=22.5°,
∴∠AEB=∠BME=67.5°,
∴BM=BE,同理可證:DN=DF,
∴BM=DN=BE=DF,設(shè)BM=x,則MN=x,
∴2x+x=a,
∴x=(﹣1)a,
∴MN=(2﹣)a,EC=BC﹣BE=(2﹣)a,
∴MN=EC.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用火柴棒擺出一列正方形圖案,第①個圖案用了 4 根,第②個圖案用了 12 根,第③個圖案用了 24 根,按照這種方式擺下去,擺出第⑥個圖案用火柴棒的根數(shù)是( )
A. 84 B. 81 C. 78 D. 76
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上點在原點的左邊,到原點的距離為4,點在原點右邊,從點走到點,要經(jīng)過16個單位長度.
(1)寫出、兩點所對應(yīng)的數(shù);
(2)若點也是數(shù)軸上的點,點到點的距離是點到原點距離的3倍,求對應(yīng)的數(shù);
(3)已知點從點開始向右出發(fā),速度每秒1個單位長度,同時從點開始向右出發(fā),速度每秒2個單位長度,設(shè)線段的中點為,線段的值是否會發(fā)生變化?若會,請說明理由,若不會,請求出求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.
(1)如圖1,若,點在外部,則有,又可證,得,將點移到內(nèi)部,如圖2,以上結(jié)論是否成立?若成立,說明理由;若不成立,則之間有何數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論;
(2)在如圖2中,將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線于點如圖3,則之間有何數(shù)量關(guān)系? (不需證明);
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,求如圖4中的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm,點P從點A出發(fā),沿折線ABCD方向以3cm/s的速度勻速運動;點Q從點D出發(fā),沿線段DC方向以2cm/s的速度勻速運動. 已知兩點同時出發(fā),當(dāng)一個點到達終點時,另一點也停止運動,設(shè)運動時間為t(s).
(1)求CD的長;
(2)當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時,求四邊形PBQD的周長;
(3)在點P、Q的運動過程中,是否存在某一時刻,使得△BPQ的面積為20cm2?若存在,請求出所有滿足條件的t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰直角△ABC中,AC=BC>3,點M在AC上,點N在CB的延長線上,MN交AB于點O,且AM=BN=3,則S△AMO與S△BNO的差是( )
A.9
B.4.5
C.0
D.無法確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,點在射線上,.
(1)如圖 1,若,求的度數(shù);
(2)把“°”改為“”,射線 沿射線 平移,得到,其它條件不變(如 圖 2 所示),探究 的數(shù)量關(guān)系;
(3)在(2)的條件下,作,垂足為 ,與 的角平分線 交于點,若 , 用含 α 的式子表示(直接寫出答案).
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