Question

（2013•黔東南州）如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分線；設它交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB為半徑作⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）證明：AC是所作⊙O的切線；
（3）若BC=

3

，sinA=

1

2

，求△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的作法求出角平分線FC，進而得出⊙O；
（2）根據(jù)切線的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)的關系求出AC，EO的長，即可得出答案．

解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：過點O作OE⊥AC于點E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切線；

（3）解：∵sinA=

1

2

，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACO=∠OCB=

1

2

ACB=30°，
∵BC=

3

，
∴AC=2

3

，BO=tan30°BC=

3

3

×

3

=1，
∴△AOC的面積為：

1

2

×AC×OE=

1

2

×2

3

×1=

3

．

點評：此題主要考查了復雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數(shù)的關系等知識，正確把握切線的判定定理是解題關鍵．