Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
（1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；
（3）試構造一個等腰梯形，該梯形連同它的兩條對角線，得到了8個三角形，要求構造出的圖形中有盡可能多的等腰三角形．（標明各角的度數）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的判斷（等角對等邊），通過證明△ABC∽△CAD得出對應角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）由（1）知BD=BC=AC，及AC²=AB•AD，可以求AC的值；
（3）等腰梯形的性質，結合等腰三角形的判定，上底=腰，底角=72°的等腰梯形有8個等腰三角形．
解答：解：（1）在△ABC中，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108°
在△ABC與△CAD中，∠A=∠B=36°
∵AC²=AB•AD
∴
∴△ABC∽△CAD
∴∠ACD=∠A=36°
∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°
∴△ADC和△BDC都是等腰三角形

（2）設AC=x，則x²=1×（1-x）
即x²+x-1=0，
∴x=，
∴AC=；

（3）說明：按照畫出的梯形中，有4個，6個和8個等腰三角形三種情況分別給分
①有4個等腰三角形得（1）；
②有6個等腰三角形，得（2）；
③有8個等腰三角形，得（3）．
點評：本題考查等腰三角形的判定和性質及相似三角形的性質的綜合運用．