Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．

（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍．

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P使得PA+PC最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)及最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，y＝x﹣1；（2）1≤x≤4；（3）存在，P（2，1），PA+PC最小值＝3．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出m的值，再根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象可得，點(diǎn)A以及點(diǎn)A右邊的部分，點(diǎn)B以及點(diǎn)B左邊的部分的自變量x的取值范圍即為不等式的解集；

（3）根據(jù)點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，于是得到直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，PA＋PC的最小值＝AB，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到AB＝，把x＝2代入y＝x1即可得到結(jié)論．

解：（1）∵拋物線y＝x2﹣4x+m經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），

∴0＝1﹣4+m，

∴m＝3，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），

∵對(duì)稱軸x＝2，B、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)（4，3），

∵y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A、B，

∴，

解得，

∴一次函數(shù)解析式為y＝x﹣1；

（2）由圖象可知，滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍為：1≤x≤4；

（3）存在，

∵點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，

∴直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，

則PA+PC最小值＝AB，

∴AB＝，

把x＝2代入y＝x﹣1得，y＝1，

∴P（2，1），PA+PC最小值＝3．