Question

已知二次函數(shù)y＝x²－(2m＋4)x＋m²－4(x為自變量)的圖像與y軸的交點在原點的下方，與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，且A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足3(OB－AO)＝2AO·OB，直線y＝kx＋k與這個二次函數(shù)圖像的一個交點為P，且銳角∠POB的正切值為4．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)確定直線y＝kx＋k的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線與x軸有兩個交點， 　　∴關(guān)于x的方程x2－(2m＋4)x＋m2－4＝0有兩個不相等的實數(shù)根． 　　∴Δ＝[－(2m＋4)]2－4(m2－4)＞0． 　　∴m＞－2． 　　設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)． 　　∵拋物線與y軸的交點在原點的下方， 　　∴m2－4＜0． 　　∴x1·x2＝m2－4＜0． 　　∵點A在點B的左邊， 　　∴x1＜0，x2＞0． 　　∵3(OB－AO)＝2AO·OB， 　　∴3[x2－(－x1)]＝2(－x1)·x2， 　　即3(x1＋x2)＝－2x2·x1． 　　∵x1，x2為關(guān)于x的方程x2－(2m＋4)x＋m2－4＝0的兩個實數(shù)根， 　　∴x1＋x2＝2m＋4，x1·x2＝m2－4． 　　∴3(2m＋4)＝－2(m2－4)． 　　整理，得m2＋3m＋2＝0． 　　∴m1＝－1，m2＝－2． 　　∵m＞－2，∴m＝－2舍去． 　　又∵m＝－1符合題意， 　　∴二次函數(shù)的解析式為 　　y＝x2－2x－3． 　　(2)(見答圖) 　　由y＝x2－2x－3得，A(－1，0)，B(3，0)． 　　∵直線y＝kx＋k與拋物線相交， 　　∴由 　　得或 　　∵∠POB為銳角， 　　∴點P在y軸的右側(cè)． 　　∴點P坐標(biāo)為(k＋3，k2＋4k)， 　　且k＋3＞0． 　　∵tg∠POB＝4， 　　∴＝4． 　　當(dāng)＝4時，解得 　　k1＝2，k2＝－2． 　　經(jīng)檢驗，k1＝2，k2＝－2都是這個方程的解．但k2＋3＜0， 　　∴k2＝－2舍去． 　　∴y＝2x＋2． 　　當(dāng)＝－4時，解得 　　k3＝－2，k4＝－6． 　　經(jīng)檢驗，k3＝－2，k4＝－6都是這個方程的解．但k4＋3＜0， 　　∴k4＝－6舍去． 　　∴y＝－2x－2． 　　∴所求直線的解析式為 　　y＝2x＋2或y＝－2x－2．