Question

【題目】我們規(guī)定：平面內(nèi)點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最小距離d，點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最大值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最大距離D，定義點(diǎn)A到圖形G的距離跨度為R=D-d．

（1）①如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點(diǎn)到圖形G1的距離跨度：

A（1，0）的距離跨度______________；

B（-， ）的距離跨度____________；

C（-3，-2）的距離跨度____________；

②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是______________．

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G2為以D（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，直線y=k（x-1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)，求k的取值范圍．

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP：y=x（x≥0），⊙E是以3為半徑的圓，且圓心E在x軸上運(yùn)動，若射線OP上存在點(diǎn)到⊙E的距離跨度為2，求出圓心E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2；2，4；②以O為圓心，半徑為1的圓；（2）-≤k≤；（3）-1≤xE≤2 ．

【解析】試題分析：（1）①先根據(jù)跨度的定義先確定出點(diǎn)到圓的最小距離d和最大距離D，即可得出跨度；
②分點(diǎn)在圓內(nèi)和圓外兩種情況同①的方法計(jì)算，判定得出結(jié)論；
（2）先判斷出存在的點(diǎn)P必在圓O內(nèi)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P到圓心O的距離的2倍是點(diǎn)P到圓的距離跨度，建立方程，由于存在距離跨度是2的點(diǎn)，此方程有解即可得出k的范圍．
（3）同（2）方法判斷出存在的點(diǎn)P在圓C內(nèi)部，由于在射線OA上存在距離跨度是2的點(diǎn)，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式即可確定出范圍．

試題解析：

（1）①∵圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，
∴直徑為4，
∵A（1，0），OA=1，
∴點(diǎn)A到⊙O的最小距離d=1，
點(diǎn)A到⊙O的最大距離D=3，
∴點(diǎn)A到圖形G1的距離跨度R=D-d=3-1=2；
∵B

∴點(diǎn)B到⊙O的最小距離d=BG=OG-OB=1，
點(diǎn)B到⊙O的最大距離D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴點(diǎn)B到圖形G1的距離跨度R=D-d=3-1=2；
∵C（-3，-2），
∴OC＝

∴點(diǎn)C到⊙O的最小距離d=CD=OC-OD=－2.

點(diǎn)C到⊙O的最大距離D=CE=OC+OE=2+

∴點(diǎn)C到圖形G1的距離跨度R=D-d=2+－（－2））=4；
故答案為2，2，4．
②a、設(shè)⊙O內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∴OP=

∴點(diǎn)P到⊙O的最小距離d=2-OP，點(diǎn)P到⊙O的最大距離D=2+OP，
∴點(diǎn)P到圖形G1的距離跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴＝1

∴x2+y2=1，
即：到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓．
b、設(shè)⊙O外一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），
∴OQ=

∴點(diǎn)Q到⊙O的最小距離d=OQ-2，點(diǎn)P到⊙O的最大距離D=OQ+2，
∴點(diǎn)P到圖形G1的距離跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴此種情況不存在，
所以，到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓．
故答案為：圓；

（2）設(shè)直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)P（m，k（m+1）），
∴OP＝

由（1）②知，圓內(nèi)一點(diǎn)到圖形圓的跨度是此點(diǎn)到圓心距離的2倍，圓外一點(diǎn)到圖形圓的跨度是此圓的直徑，
∵圖形G2為以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，到G2的距離跨度為2的點(diǎn)，
∴距離跨度小于圖形G2的圓的直徑4，
∴點(diǎn)P在圖形G2⊙C內(nèi)部，
∴R=2OP=2

∵直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點(diǎn)P，
∴2＝2

∴（k2+1）m2+2（k2-1）m+k2=0①，
∵存在點(diǎn)P，
∴方程①有實(shí)數(shù)根，
∴△=4（k2-1）2-4×（k2+1）k2=-12k2+4≥0，

（3）如圖，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．

由題意：⊙E是以3為半徑的圓，且圓心E在x軸上運(yùn)動，若射線OP上存在點(diǎn)到⊙E的距離跨度為2，此時(shí)以E為圓心1為半徑的圓與射線OP相切，當(dāng)以E為圓心1為半徑的圓與射線OP有交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射線OP的解析式為y=，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
當(dāng)E′（-1，0）時(shí)，點(diǎn)O到⊙E的距離跨度為2，
觀察圖象可知，滿足條件的圓心E的橫坐標(biāo)xE的取值范圍：-1≤xE≤2．
故答案為：-1≤xE≤2．