Question

如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB+AD=12，對(duì)角線AC是⊙O的直徑，AE⊥BD，垂足為E，AE=3．設(shè)⊙O的半徑為y，AB的長(zhǎng)為x．
（1）求y與x函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)等于多少時(shí)，⊙O的面積最大，并求出⊙O的最大面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理，可知∠ABE=∠ACD，而等角的三角函數(shù)值相等，于是可得關(guān)于x、y的比例關(guān)系式，整理可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求當(dāng)x等于多少時(shí)，y的最大值，從而求出半徑，再利用圓的面積公式可求⊙O的面積．

解答：解：（1）∵∠ABE=∠ACD，
∴sin∠ABE=sin∠ACD，
∴

12-x

2y

=

3

x

，
∴y=-

1

6

x²+2x．

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，
當(dāng)x=-

b

2a

=

-2

2×(- 1 6 )

=6時(shí)，
y有最大值，且最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 6 )×0-22

4×(- 1 6 )

=6，
即當(dāng)x=6時(shí)，半徑y(tǒng)有最大值是6，
∴S_⊙O=πy²=36π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、三角函數(shù)值、二次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度較大．