Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB為直徑的交AC于點(diǎn)E，F是上的點(diǎn)，且    

（1）求證：BC是的切線；

（2）若sinC=，AE=，求sin∠AFE 的值和AF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2），5

【解析】（1）證明：∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA.

又∵∠C=∠DBC，

∴∠DBA﹢∠DBC＝.

∴AB⊥BC.

又∵AB是的直徑，

∴BC是的切線. ………………………………………………………3分

（2）解：如圖，連接BE，

∵AB是的直徑，

∴∠AEB＝90°.

∴∠EBC＋∠C＝90°.

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠EBC＝90°.

∴∠C＝∠ABE.

又∵∠AFE＝∠ABE，

∴∠AFE＝∠C.

∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.

∴sin∠AFE＝.  …………………………………………………………………6分

連接BF，

∴.

在Rt△ABE中，.  ……………………………………8分

∵AF＝BF，

∴. …………………………………………………………………9分

（1）欲證BC是⊙O的切線，只需證明∠ABC=90°即可；

（2）如圖，連接BE，BF，構(gòu)建Rt△AEB和Rt△AFB．利用圓周角定理（同弧所對(duì)的圓周角相等）、等量代換以及切線的性質(zhì)推知所求的∠F與已知∠C的數(shù)量關(guān)系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC；然后利用銳角三角函數(shù)的定義可以求得sinF的值和AF的長．