Question

試證：如果a＜b＜c，則二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一個(gè)根在a，b之間，另一個(gè)根在b，c之間．

Answer 1

解：當(dāng)x=a時(shí)，（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（a-b）（a-c），
而a＜b＜c，
∴a-b＜0，a-c＜0，
∴（a-b）（a-c）＞0，
當(dāng)x=b時(shí)，（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（b-c）（b-a），
而a＜b＜c，
∴b-a＞0，b-c＜0，
∴（b-c）（b-a）＜0，
當(dāng)x=c時(shí)，（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（c-a）（c-b），
而a＜b＜c，
∴c-a＞0，c-b＞0，
∴（c-a）（c-b）＞0，
∴二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一個(gè)根在a，b之間，另一個(gè)根在b，c之間．
分析：由于要證明二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一個(gè)根在a，b之間，另一個(gè)根在b，c之間，計(jì)算證明當(dāng)x=a、b時(shí)方程的左邊（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）一個(gè)大于0，一個(gè)小于0，當(dāng)x=b、c時(shí)，也是如此．由此即可解決解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解和拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也利用了方程的解就是函數(shù)值為0時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，同時(shí)也利用了數(shù)形結(jié)合的思想，此題比較復(fù)雜，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)應(yīng)該注意訓(xùn)練．