Question

如圖，直線y=x+3與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于E點(diǎn)，OF∥BE交雙曲線于F，且OF=2BE，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：

分析：先由直線y=x+3與y軸交于B點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于E點(diǎn)，得出B（0，3），設(shè)E（x，x+3），由OF∥BE，BE解析式為y=x+3，得到OF解析式為y=x，于是可設(shè)F（a，a）．再根據(jù)E、F都在雙曲線y=

k

x

上，得出x（x+3）=a²=k ①，由OF=2BE，得出OF²=4BE²，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出a²+a²=4[x²+（x+3-3）²]，即a²=4x² ②，再把①代入②，得x（x+3）=4x²，解方程求出x的值，進(jìn)而得到k的值．

解答：解：∵直線y=x+3與y軸交于B點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于E點(diǎn)，
∴B（0，3），設(shè)E（x，x+3）．
∵OF∥BE，BE解析式為y=x+3，
∴OF解析式為y=x，
∴可設(shè)F（a，a）．
∵E、F都在雙曲線y=

k

x

上，
∴x（x+3）=a²=k ①，
∵OF=2BE，
∴OF²=4BE²，即a²+a²=4[x²+（x+3-3）²]，
∴a²=4x² ②，
把①代入②，得
x（x+3）=4x²，
解得x₁=1，x₂=0（不合題意舍去），
∴k=x（x+3）=1×（1+3）=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直線平移的規(guī)律，兩點(diǎn)間的距離公式，綜合性較強(qiáng)，難度適中．根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)出E（x，x+3），F(xiàn)（a，a），得到x（x+3）=a²=k是解題的關(guān)鍵．