Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BC為直徑的圓，圓心為O，且AB=AD，延長CB、DA交于P，過C點作PD的垂線交PD的延長線于E，且PB=BO，連接OA．
（1）求證：OA∥CD；
（2）求線段BC：DC的值；
（3）若CD=18，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由圓周角定理可知∠BDC=90°，即CD⊥BD，再由AB=AD可知

AB

=

AD

，則OA⊥BD，由此即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則PB=OB=OC=OA=r，再由OA∥CD可知，△OAP∽△CDP，故可得出

OP

PC

=

OA

CD

，故可用r表示出CD的長，再求出BC：DC的值即可；
（3）由OF∥CD，OB=OC根據(jù)中位線定理可以求出OF，AF；再根據(jù)勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD，DF；接著在Rt△ADF中求出AD；然后利用平行線的性質(zhì)得∠FAD=∠CDE證明△AFD∽△DEC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求出DE．

解答：（1）證明：連接BD，交OA于點F．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即CD⊥BD，
∵AB=AD，
∴

AB

=

AD

∴OA⊥BD，
∴OA∥CD；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵PB=OB，
∴PB=OB=OC=OA=r，
∵OA∥CD，
∴△OAP∽△CDP，
∴

OP

PC

=

OA

CD

，

2r

3r

=

r

CD

，解得CD=

3r

2

，
∴

BC

CD

=

2r

3r 2

=

4

3

；

（3）解：∵OF∥CD，

OF

DC

=

BO

BC

=

1

2

，
∴OF=9，AF=3；
∵BD=

BC2-DC2

=6

7

，
∴DF=

1

2

BD=3

7

，
∴AD=

DF2+AF2

=6

2

；
∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE，
∴△AFD∽△DEC，
∴

DE

DC

=

AF

AD

，即

DE

18

=

3

6 2

；
∴DE=

9 2

2

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強，此題把垂徑定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，中位線定理等知識都放在圓的背景中，充分發(fā)揮這些知識的作用解題．