Question

如圖，點M是邊長為4cm的正方形紙片ABCD邊AD上的一點，點E、F分別在邊AB、CD上，ME⊥MF，連接EF．
（1）若AM=BE，
①求證：△AEM≌△DMF；
②求梯形AEFD的面積．
（2）若ME=EB，連接BM、BF，求∠MBF的度數(shù)．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：（1）①由正方形的性質(zhì)、等角的余角相等得到全等三角形的三個條件，利用SAS證得結(jié)論；
②由①中全等三角形的對應(yīng)邊相等推知AM=DF．結(jié)合已知條件易得DF=BE，所以根據(jù)梯形面積公式進行解答；
（2）作BG⊥MF交MF于點G，分別證得△ABM≌△GBM，△BGF≌△BCF，得出∠ABM=∠MBG，∠GBF=∠CBF，進一步推出∠MBF的度數(shù)．

解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD，
∵AM=BE，
∴AE=DM，
∵ME⊥MF，
∴∠AME+∠DMF=∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠EMF，
在△AEM和△DMF中，

∠AEM=∠DMF AE=DM ∠A=∠D

，
∴△AEM≌△DMF（ASA）；

②由①知△AEM≌△DMF，則AM=DF．
∵AM=BE，
∴DF=BE，
∴S_梯形AEFD=

1

2

（AE+DF）•AD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×4=8（cm²）；

（2）如圖，

作BG⊥MF交MF于點G，ME⊥MF
∴∠A=∠BGM=∠EMF=90°，
∵ME=EB，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠AMB=90°-∠ABM，∠BMG=90°-∠EMB，
∴∠AMB=∠BMG，
在△AMB和△BMG中，

∠A=∠BGM ∠AMB=∠BMG BM=BM

，
∴△AMB≌△BMG（AAS），
∴BA=BG，∠ABM=∠MBG，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，

BG=BC BF=BF

，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴∠GBF=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABM+∠MBG+∠GBF+∠CBF=2（∠MBG+∠GBF）=2∠MBF=90°，
∴∠MBF=45°．

點評：此題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，以及等量代換等知識與方法；注意正確作出輔助線是解決問題的根本．