Question

對(duì)于拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0），B（x₂，0），則下列說(shuō)法：
①一元二次方程mx²+4mx+n=0的兩根為x₁=-1，x₂=-3；
②原拋物線與y軸交于C點(diǎn)，CE∥x軸交拋物線于E點(diǎn)，則CE=4；
③點(diǎn)D（2，y₁），點(diǎn)F（-6，y₂）在原拋物線上，則y₂≤y₁；
④拋物線y=mx²+4mx+n與原拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱．
其中正確的說(shuō)法有（　�。�

Answer 1

分析：先求出拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-2，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到x₂=-3，再根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)得到一元二次方程mx²+4mx+n=0的兩根為x₁=-1，x₂=-3；由于C點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為2，所以當(dāng)CE∥x軸交拋物線于E點(diǎn)，則CE=4；由于點(diǎn)D（2，y₁）和點(diǎn)F（-6，y₂）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，所以y₂=y₁；先確定兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，4m-n）和（-2，-4m+n），然后根據(jù)拋物線的性質(zhì)和關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷拋物線y=mx²+4mx+n與原拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱．

解答：解：拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-

-4m

2×(-m)

=-2，
∵拋物線y=-mx²-4mx-n（m≠0）與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0），B（x₂，0），
∴x₂=-3，
∴一元二次方程mx²+4mx+n=0的兩根為x₁=-1，x₂=-3，所以①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，
∴C點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為2，
∴當(dāng)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，CE∥x軸交拋物線于E點(diǎn)，則CE=4，所以②正確；
∵點(diǎn)D（2，y₁）和點(diǎn)F（-6，y₂）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則y₂=y₁，所以③錯(cuò)誤；
④y=-mx²-4mx-n=-m（x+2）²+4m-n，而y=mx²+4mx+n=m（m+2）²-4m+n，
點(diǎn)（-2，4m-n）與點(diǎn)（-2，-4m+n）關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴拋物線y=mx²+4mx+n與原拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，所以④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)；二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．