Question

如圖，直線AC與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)A（x₀，y₀），交x軸的正半軸于點(diǎn)C，且|AO|=4，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，且S_△AOC：S_△AOB=3：2．
（1）求k的值及直線AC的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)P（r，m），設(shè)△BCP的面積為S．求S與r的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）∵|AO|=4，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，即OB=2，
∴∠BAO=30°，
∴AB=OB=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∵S_△AOC：S_△AOB=3：2，
∴OC：OB=3：2，而OB=2，
∴OC=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，2），C（3，0）代入得，-2k+b=2，3k+b=0，解得k=-，b=，
∴直線AC的解析式為：y=-x+；

（2）雙曲的解析式為y=-，
∵點(diǎn)P（r，m）在反比例函數(shù)圖象上，
∴m=-，r＜0，m＞0，
∴S=•BC•m
=•5•（-）
=-．
∴S與r的函數(shù)關(guān)系式為S=-（r＜0）．
分析：（1）∵|AO|=4，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，即OB=2，得到∠BAO=30°，則AB=OB=2，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），于是可求得k=-2×2=-4；再根據(jù)S_△AOC：S_△AOB=3：2，得到OC：OB=3：2，而OB=2，求出OC=3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)P（r，m）在反比例函數(shù)圖象上得到m=-，r＜0，m＞0，再根據(jù)三角形的面積公式得S=•BC•m=•5•（-），整理即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了已知一點(diǎn)的坐標(biāo)確定反比例函數(shù)圖象的解析式．也考查了利用待定系數(shù)法求直線的解析式的方法以及三角形的面積公式．