Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點(diǎn)，AG交CD于K、E為CD延長線上一點(diǎn)，且EK=EG，EG的延長線交AB的延長線于F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若DK=2HK=AK，CH=$\sqrt{15}$，求圖中陰影部分的面積S；
（3）若AC∥EF，sinE=$\frac{3}{5}$，AK=2$\sqrt{3}$，則FG=$\frac{5\sqrt{30}}{8}$（填寫最后結(jié)果即可，不必寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進(jìn)而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進(jìn)而證明EF是⊙O的切線；
（2）與已知條件得出∠HAK=30°，HK=$\frac{1}{3}$DH=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，AH=$\sqrt{3}$HK=$\sqrt{5}$，連接OD，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，得出OH=$\frac{1}{2}$OD，求出∠ODH=30°，△ODH的面積=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，再求出∠BOD=120°，得出扇形OBGD的面積=$\frac{20π}{3}$，證明△GEK是等邊三角形，求出OF=2OG=4$\sqrt{5}$，得出HF=OH+OF=5$\sqrt{5}$，求出HE=$\frac{5\sqrt{15}}{3}$，計(jì)算出△EFH的面積，即可得出結(jié)果；
（3）連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．

解答 （1）證明：連接OG，如圖1所示：
∵弦CD⊥AB于點(diǎn)H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴DH=CH=$\sqrt{15}$，
∵DK=2HK=AK，
∴∠HAK=30°，HK=$\frac{1}{3}$DH=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴AH=$\sqrt{3}$HK=$\sqrt{5}$，
連接OD，如圖2所示：
設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：（$\sqrt{15}$）²+（R-$\sqrt{5}$）²=R²，
解得：R=2$\sqrt{5}$，
∴OH=OA-AH=$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠ODH=30°，△ODH的面積=$\frac{1}{2}$OH•DH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{15}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DOH=60°，
∴∠BOD=120°，
∴扇形OBGD的面積=$\frac{120π×（2\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{20π}{3}$，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠HAK=30°，
∴∠EGK=90°-30°=60°，
又∵EK=EG，
∴△GEK是等邊三角形，
∴∠E=60°，
∴∠F=90°-60°=30°，
∵GO⊥EF，
∴OF=2OG=4$\sqrt{5}$，
∴HF=OH+OF=5$\sqrt{5}$，
∴HE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$HF=$\frac{5\sqrt{15}}{3}$，
∴△EFH的面積=$\frac{1}{2}$HF•HE=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{5}$×$\frac{5\sqrt{15}}{3}$=$\frac{125\sqrt{3}}{6}$，
∴圖中陰影部分的面積S=$\frac{125\sqrt{3}}{6}$-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$-$\frac{20π}{3}$=$\frac{55\sqrt{3}}{3}$-$\frac{20π}{3}$；
（3）解：連接OG，OC，如圖3所示
sinE=sin∠ACH=$\frac{3}{5}$，設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：t=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，
解得：r=$\frac{25}{6}$t=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$，
∵EF為切線，
∴△OGF為直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=$\frac{5\sqrt{30}}{6}$，tan∠OFG=tan∠CAH=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{4}{3}$，
∴FG=$\frac{OG}{tan∠OFG}$=$\frac{\frac{5\sqrt{30}}{6}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{5\sqrt{30}}{8}$；
故答案為：$\frac{5\sqrt{30}}{8}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線應(yīng)用勾股定理求出半徑才能得出結(jié)果．