Question

18．如圖，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=$\frac{3}{5}$．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤5）
（1）求AC，BC的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為△ABC面積的$\frac{1}{10}$；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦的定義和勾股定理求出AC，BC的長；
（2）作PE⊥AC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用t表示出PE，根據(jù)三角形的面積公式和題意列出方程，解方程即可；
（3）分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=6cm，
則AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8cm，
∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）作PE⊥AC于E，
由題意得，BP=2tcm，AQ=tcm，
則AP=（10-2t）cm，
∵PE∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PE}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PE}{6}$，
解得，PE=6-$\frac{6}{5}$t，
∴△APQ的面積=$\frac{1}{2}$×t×（6-$\frac{6}{5}$t），△ABC面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
由題意得，$\frac{1}{2}$×t×（6-$\frac{6}{5}$t）=$\frac{1}{10}$×24，
解得，t₁=1，t₂=4，
則當(dāng)t為1s或4s時(shí)，△APQ的面積為△ABC面積的$\frac{1}{10}$；
（3）當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$，
解得，t=$\frac{40}{13}$，
當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得，t=$\frac{25}{7}$，
故當(dāng)t為$\frac{40}{13}$s或$\frac{25}{7}$s時(shí)，△APQ與△ABC相似．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、一元二次方程的解法，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、定義是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．