Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連接CD．過點D作DE⊥AB于E，交AC于點P，求證：點P平分線段DE．

Answer 1

【答案】分析：本題從切線的判定和性質(zhì)出發(fā)，先判定△ODC≌△OBC，從平行線得到線段的比，從而證得．
解答：證明：先證明CD是⊙O的切線．
連接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1=∠2，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC．
∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，
∴BC⊥OB．
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
∴CD是⊙O的切線．
再證點P平分線段DE．
過A作⊙O的切線AF，交CD的延長線于點F，則FA⊥AB．
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，
∴．
在△FAC中，
∵DP∥FA，
∴．
∵FA、FD是⊙O的切線，
∴FA=FD，
∴．
在△ABC中，
∵EP∥BC，
∴．
∵CD、CB是⊙O的切線，
∴CB=CD，，
∴，
∴DP=EP，
∴點P平分線段DE．
點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，從三角形的全等出發(fā)，從平行得到DP=EP．