Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為（3，1），二次函數(shù)y=x²的圖象記為拋物線l₁．
（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的一個拋物線的函數(shù)表達式（任寫一個即可）；
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過A，B兩點，記為拋物線l₂，如圖2，求拋物線l₂的函數(shù)表達式；
（3）設(shè)拋物線l₂的頂點為C，K為y軸上一點．若S_△ABK=S_△ABC，求點K的坐標；
（4）請在圖3上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點P，使△ABP為等腰三角形．若存在，請判斷點P共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）有多種答案，符合條件即可．
例如y=x²+1，y=x²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，
y=（x+-1）²，y=（x-1-）²．
（2）設(shè)拋物線l₂的函數(shù)表達式為y=x²+bx+c，
∵點A（1，2），B（3，1）在拋物線l₂上，
∴，   解得，
∴拋物線l₂的函數(shù)表達式為y=x²-x+．
（3）y=x²-x+=（x-）²+，
∴C點的坐標為（，）．
過A，B，C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，

則AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，EF=．
∴S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB=（2+1）×2-（2+）×-（1+）×=．
延長BA交y軸于點G，設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y=mx+n，
∵點A（1，2），B（3，1）在直線AB上，
∴，解得，
∴直線AB的函數(shù)表達式為y=-x+．
∴G點的坐標為（0，）．
設(shè)K點坐標為（0，h），分兩種情況：
若K點位于G點的上方，則KG=h-．
連接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG=×3×（h-）-×1×（h-）=h-．
∵S_△ABK=S_△ABC=，
∴h-=，
解得h=．
∴K點的坐標為（0，）．
若K點位于G點的下方，則KG=-h．
同理可得，h=．
∴K點的坐標為（0，）．
（4）作圖痕跡如圖所示．
由圖可知，點P共有4個可能的位置．

解析