Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn)。

（1）   求證：△ABE∽△ECM;

（2）   探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）   當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴，

∴CE=，

∴BE=6﹣=；

（3）

【解析】（1）由AB=AC得∠B=∠C，由△ABC≌△DEF得∠AEF=∠B，即得△ABE∽△ECM；

（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，得∠AME＞∠AEF，則AE≠AM；當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等即可求得BE的長(zhǎng)；當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，即可證得△CAE∽△CBA，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得BE的長(zhǎng)；

（3）設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可表示出CM的長(zhǎng)，從而可以表示出AM的長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果。