Question

已知在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，AD與BE交于點(diǎn)F，且F為AD的中點(diǎn)，ND∥AC交BE于N．
（1）求證：ND=AE；
（2）若CB=4BD，AE=2cm，求AC的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，S_△BND=6，求四邊形DCEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FAE=∠FDN，然后求得根據(jù)ASA證得△AEF≌△DNF，即可證得ND=AE；
（2）由兩直線平行證得三角形相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得EC，即可求得；
（3）連接CF，設(shè)△AEF的面積為S，則S_△NDF=S，根據(jù)AE=2cm，EC=8cm，CB=4BD，得出△EFC的面積為4S，△DFC的面積為3（6+S），根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求得S_△BCE=96，根據(jù)S_△BDN+S_△NDF+S_△DFC+S_△EFC=S_△BCE列出關(guān)于S的方程，解方程求得S，即可求得四邊形DCEF的面積．

解答：解：（1）∵ND∥AC，
∴∠FAE=∠FDN，
在△AEF與△DNF中，

∠FAE=∠FDN DF=AF ∠DFN=∠AFE

，
∴△AEF≌△DNF（ASA），
∴ND=AE；
（2）∵ND∥AC，
∴△BDN∽△BCE，
∴

BD

BC

=

ND

EC

，
∵CB=4BD，AE=ND=2cm，
∴EC=4ND=8cm，
∴AC=EC+AE=8+2=10cm；
（3）∵△BDN∽△BCE，
∴

S△BDN

S△BCE

=（

BD

BC

）²=

1

16

，
∵S_△BND=6，
∴S_△BCE=96，
連接CF，設(shè)△AEF的面積為S，則S_△NDF=S，
∵AE=2cm，EC=8cm，CB=4BD，
∴△EFC的面積為4S，△DFC的面積為3（6+S），
∵S_△BDN+S_△NDF+S_△DFC+S_△EFC=S_△BCE
∴6+S+3（6+S）+4S=96，解得：S=9，
∴S_{四邊形DCEF}=3（6+S）+4S=81．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，熟練掌握性質(zhì)、定理是本題的關(guān)鍵．