Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、E，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是它的縱坐標(biāo)的2倍．

（1）求邊AB的長；

（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；

（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，求線段OG的長．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題． 

專題： 綜合題．

分析： （1）過D作DM⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，可得三角形ODH與三角形OBA相似，根據(jù)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是它的縱坐標(biāo)的2倍及E（4，n），求出AB的長即可；

（2）由D為OB的中點(diǎn)，以及B坐標(biāo)求出D坐標(biāo)，把D代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，把E坐標(biāo)代入反比例解析式求出n的值即可；

（3）由折疊的性質(zhì)得到三角形OGH與三角形FGH全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到OG=FG，由F在反比例圖象上，確定出F坐標(biāo)，進(jìn)而求出CF的長，在三角形CFG中，設(shè)OG=FG=x，可得CG=2﹣x，利用勾股定理求出x的值，即為OG的長．

解答： 解：（1）過D作DM⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，

∵D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是它的縱坐標(biāo)的2倍，即OM=2DM，

∴OA=2AB，

∵E（4，n），即OA=4，AE=n，

∴AB=2；

（2）∵D為OB中點(diǎn)，B（4，2），

∴D（2，1），

把D（2，1）代入y=中，得1=，即k=2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=，

把E（4，n）代入反比例解析式得：n==；

（3）由F（1，2），得到CF=1，

由折疊得：△OGH≌△FGH，

∴OG=FG，

∵OC=AB=2，

設(shè)OG=FG=x，得到CG=2﹣x，

在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG²=CG²+CF²，即x²=（2﹣x）²+1，

整理得：4x=5，

解得：x=，

則OG=．