Question

3．如圖，在長方形ABCD中，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求AB與BC的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊BC上時(shí)，試求出使AP長為$\sqrt{10}$時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC上時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法解出方程即可；
（2）根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分PC=CD、PD=PC、PD=CD三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵x²-7x+12=0，
則（x-3）（x-4）=0，
∴x₁=3，x₂=4．
則AB=3，BC=4；
（2）由題意得${3^2}+{（t-3）^2}=\sqrt{10}$，
∴t₁=4，t₂=2（舍去），
則t=4時(shí)，AP=$\sqrt{10}$；
（3）存在點(diǎn)P，使△CDP是等腰三角形，
①當(dāng)PC=CD=3時(shí)，t=（3+4+3）÷1=10（秒）；
②當(dāng)PD=PC（即P為對(duì)角線AC中點(diǎn)）時(shí)，AB=3，BC=4．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，CP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴t=（3+4+2.5）÷1=9.5（秒）；
③當(dāng)PD=CD=3時(shí)，作DQ⊥AC于Q，
$DQ=\frac{{\frac{1}{2}×3×4}}{{\frac{1}{2}×5}}=\frac{12}{5}$，$PQ=\sqrt{{3^2}-{{（\frac{12}{5}）}^2}}=\frac{9}{5}$，
∴PC=2PQ=$\frac{18}{5}$，
∴$t=\frac{{3+4+\frac{18}{5}}}{1}=\frac{53}{5}$（秒），
可知當(dāng)t為10秒或9.5秒或$\frac{53}{5}$秒時(shí)，△CDP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的解法，正確解出方程、靈活運(yùn)用勾股定理列出算式是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的運(yùn)用．