Question

3．已知：如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．
（1）求證：△ADC∽△ECB；
（2）已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接CE，由BE是⊙O的直徑得到∠ECB=90°得到∠ECB=∠ADC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠A=∠E，于是得到結(jié)論；
（2）求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)，由AC•BC=BE•CD知，可在Rt△ACD和Rt△BCD中，根據(jù)已知條件求出BC，AC的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：連接CE，
∵BE是⊙O的直徑
∴∠ECB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠ECB=∠ADC
又∵∠A=∠E（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴△ADC∽△ECB；

（2）解：∵CD=6，AD=3，BD=8
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC•BC=BE•CD，
∴3$\sqrt{5}$×10=BE•6，
∴BE=5$\sqrt{5}$，
∴⊙O的直徑BE的長(zhǎng)是5$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為直角及解直角三角形的知識(shí)，同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．