Question

如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點，且MC=MD，分別過C，D兩點，作邊BC，AD的垂線，設兩條垂線的交點為P．
求證：∠PAD=∠PBC．

Answer 1

分析：用中位線定理證明，MF=

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BP=BE，ME=

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AP=DF，進而證明△MDF≌△CME，并根據(jù)平行四邊形對角相等求證．

解答：證明：如圖：取AP，BP的中點分別為F，E；并連接DF，MF，EC，ME；
根據(jù)三角形的中位線定理得：MF=

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BP=PE，ME=

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AP=PF，
∴四邊形MFPE為平行四邊形
∴∠MFP=∠MEP，
∵PD⊥AD，PC⊥BC，
∴∠ADP=∠BCP=90°，
∴在Rt△APD與Rt△BPC中，
DF=AF=PF=

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PA，CE=BE=PE=

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BP，
∴DF=EM=PF，F(xiàn)M=PE=CE，
∵MC=MD，
∴△MDF≌△CME（SSS），
∴∠DFM=∠MEC，
∴∠DFP=∠CEP，
∴FA=FD，CE=BE，
∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE，
∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP，
∵∠DFP=∠CEP，
∴∠PAD=∠PBC．

點評：考查中位線定理在平行四邊形中的應用和平行四邊形中全等三角形的證明．