Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在邊AB上取一點D，作DE⊥AB交BC于點E，先將△BDE沿DE折疊，使點B落在線段DA上，對應點記為B₁；BD的中點F的對應點記為F₁．若△EFB∽△AF₁E，則B₁D=

 

．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出BC，設(shè)BD=2x，得到BF=FD=DF₁=B₁F₁=x，然后求出AF₁，再利用相似三角形對應邊成比例列式求出DE，然后利用勾股定理列式求出F₁E，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解得到x的值，從而可得B₁D的值．

解答：解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
設(shè)BD=2x，
∵點F為BD的中點，將△BDE沿DE折疊，點B對應點記為B₁，點F的對應點為F₁，
∴BF=FD=DF₁=B₁F₁=x，
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴

BD

BC

=

DE

AC

，
即

2x

4

=

DE

3

，
解得DE=

3

2

x，
在Rt△DF₁E中，E₁F=

DE2+DF12

=

( 3x 2 )2+x2

=

13 x

2

，∴AF₁=AB-BF₁=5-3x
根據(jù)題意知，EFB≌△EF₁B₁．
∵△EFB∽△AF₁E，
∴△EF₁B₁∽△AF₁E，
∴

F1E

B1F1

=

F1A

EF1

，
∴EF₁²=AF₁•B₁F₁，
即（

13 x

2

）²=x（5-3x），
解得x=

4

5

，
∴B₁D的長為2×

4

5

=

8

5

．
故答案為：

8

5

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形對應邊成比例，綜合題，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．