Question

如圖，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=，以CA為半徑的⊙C與AB、BC分別交于點D、E，聯(lián)結AE，DE．
（1）求BC的長；
（2）求△AED的面積．

Answer 1

解：（1）過點作CF⊥AB于點F，
∵AC=15，sin∠CAB=，
∴CF=AC•sin∠CAB=15×=12，
在Rt△ACF中，
∵AC=15，CF=12，
∴AF===9，
∴BF=AB-AF=25-9=16，
在Rt△BCF中，
∵BF=16，CF=12，
∴BC===20；

（2）∵CF⊥AB，AF=9，
∴AD=2AF=18，
∵BC=20，CE=AC=15，
∴BE=BC-CE=20-15=5，
過點E作EG⊥AB于點G，
∵EG∥CF，
∴△BEG∽△BCF，
∴=，=，解得EG=3，
∴S_△AEG=AD•EG=×18×3=27．
分析：（1）過點作CF⊥AB于點F，由AC=15，sin∠CAB=求出CF的長，由勾股定理求出AF的長，故可得出BF的長，在Rt△BCF中，根據勾股定理可求出BC的長；
（2）由（1）中CF⊥AB可知AD=2AF，根據BC的長可得出BE的長，過點E作EG⊥AB于點G，由相似三角形的判定定理可得出△BEG∽△BCF，故可得出EG的長，再根據S_△AEG=AD•EG即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出相似三角形是解答此題的關鍵．