Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一點(diǎn)（不與C，D重合），∠CPD與∠COB有何大小關(guān)系？試說明理由；
（2）點(diǎn)P'在上（不與C，D重合）時(shí)，∠CP'D與∠COB又有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

Answer 1

（1）∠CPD=∠COB．…（1分）
理由：如圖所示，連接OD．…（2分）
∵AB是直徑，AB⊥CD，∴=，…（3分）
∴∠COB=∠DOB=∠COD．…（4分）
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB…（5分）

（2）∠CP'D與∠COB的數(shù)量關(guān)系是∠CP'D+∠COB=180°…（6分）
理由：∵∠CPD=∠COD，∠CP'D=（360°-∠COD）=180°-∠COD，
∴∠CPD+∠CP'D=180°．…（8分）
由（1）知，∠CPD=∠COB，∴∠CP'D+∠COB=180°．…（9分）
分析：1、根據(jù)垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數(shù)等于∠BOC的度數(shù)，弧AD的度數(shù)等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
2、根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)知，∠CP′D=180°-∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．