Question

14．長寬比為$\sqrt{n}：1$（n為正整數(shù)）的矩形稱為$\sqrt{n}$矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個$\sqrt{2}$矩形，如圖①所示．
操作1：將正方形ABCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH．
操作2：將AD沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF．
則四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形．
證明：設正方形ABCD的邊長為1，則BD=$\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$．
由折疊性質(zhì)可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，則四邊形BCEF為矩形．
∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{BF}{1}$，∴$BF=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$．∴$BC：BF=1：\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}：1$．
∴四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形．
閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：
（1）在圖①中，所有與CH相等的線段是GH、DG，tan∠HBC的值是$\sqrt{2}$-1；
（2）已知四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形，模仿上述操作，得到四邊形BCMN，如圖②，求證：四邊形BCMN為$\sqrt{3}$矩形；
（3）將圖②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個“$\sqrt{n}$矩形”，則n的值是6．

Answer 1

分析 （1）設CH=GH=DG=x，根據(jù)DC=DH+CH=1，列出方程即可求出HC，然后運用三角函數(shù)的定義求出tan∠HBC的值．
（2）只需借鑒閱讀中證明“四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形”的方法就可解決問題．
（3）利用（2）中結論，尋找規(guī)律可得到n的值．

解答 解：（1）如圖①中，由折疊可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
設HC=x，則DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，
∴DH=$\sqrt{2}$x，
∴DC=DH+CH=$\sqrt{2}$x+x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1．
∴tan∠HBC=$\frac{HC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：GH、DG，$\sqrt{2}-1$；
（2）如圖②中，∵BC=1，EC=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
由折疊可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四邊形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四邊形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，
即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BC：BN=1：$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四邊形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形；
（3）同理可得：
將$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個“$\sqrt{4}$矩形”，
將$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個“$\sqrt{5}$矩形”，
將$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個“$\sqrt{6}$矩形”，
所以將圖②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個“$\sqrt{6}$矩形”．
故答案為6．

點評 本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、勾股定理等知識，考查了閱讀理解能力、操作能力、歸納探究能力、推理能力，運用已有經(jīng)驗解決問題的能力，是中考創(chuàng)新題型．