Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長BF交AD的延長線于E，延長CD交BA的延長線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．
（1）求線段CD的長；
（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°-∠EBC．

Answer 1

（1）解：連接BD，
由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，
又∵BF⊥CD，
∴∠DFE=90°
又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，
∴△GAD≌△EFD，
∴DA=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF
又∵CF=6，
∴BC=，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠BDF=∠CBD，
∴CD=CB=8．

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠E=∠CBF，
∵∠HDF=∠E，
∴∠HDF=∠CBF，
由（1）得，∠ADB=∠CBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴HD=HB，
由（1）得CD=CB，
∴△CDH≌△CBH，
∴∠DCH=∠BCH，
∴∠BCH=∠BCD==．
分析：（1）連接BD，由題意得出∠GAD=90°，從而證明△GAD≌△EFD，得出DA=DF再證明Rt△BAD≌Rt△BFD，利用勾股定理求出BC，繼而得出線段CD的長．
（2）結合（1）可得出∠ADB=∠CBD，CD=CB，然后證明△CDH≌△CBH，得出∠DCH=∠BCH后，即可得出結論．
點評：此題考查了梯形、全等三角形的判定及性質，綜合性較強，解答本題的關鍵是利用三角形全等的知識，將已知線段進行轉化，另外要注意等角代換的應用，難度較大．