Question

如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當(dāng)紙板Ⅰ移動至處時，設(shè)與分別交于點，與軸分別交于點．
（1）求直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：
①點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；
②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，
知兩點的坐標(biāo)分別為．
設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
有解得
所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）①點到軸距離與線段的長總相等．
因為點的坐標(biāo)為，
所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
又因為點在直線上，
所以可設(shè)點的坐標(biāo)為．
過點作軸的垂線，設(shè)垂足為點，則有．

因為點在直線上，所以有．
因為紙板為平行移動，故有，即．
又，所以．
法一：故，
從而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
從而總有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故點坐標(biāo)為．
設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，
則有解得
所以，直線所對的函數(shù)關(guān)系式為．
將點的坐標(biāo)代入，可得．解得．
而，從而總有．
②由①知，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．

．
當(dāng)時，有最大值，最大值為．
取最大值時點的坐標(biāo)為．

解析