【題目】如圖,在ABC中,⊙O經(jīng)過A、B兩點,圓心OBC邊上,且⊙OBC邊交于點E,在BC上截取CF=AC連接AF交⊙O 于點D,若點D恰好是的中點.

1)求證:AC是⊙O的切線;

2)若BF=17,DF=13,求⊙O的半徑r;

(3)若∠ABC=30°,動直線l從與點A、O重合的位置開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn),到與OC重合時停止,設直線l與AC的交點為F,點Q為OF的中點,過點F作FG⊥BC于G,連接AQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中,∠AQG的大小是否變化?若不變,求出∠AQG的度數(shù);若變化,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;

(2)⊙O的半徑r為12;

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠AQG的大小不變,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)連接OA、OD,根據(jù)垂徑定理得∠DOE =90°,則∠D+OFD=90°,再由AC=FCOA=OD,加上∠CAF=CFA,所以∠OAD+CAF=90°,根據(jù)切線的判定定理可得AC是⊙O切線;(2)先表示出OD=r,OF=17﹣r,再在RtDOF中利用勾股定理得r2+17﹣r2=132,解方程得到r的值;(3)(3易證點A、OG、H在以點Q為圓心,QO為半徑的圓上,從而得到∠AQG=2AOG.從而得到∠AOC=60°,進而得到∠AQG=120°,所以∠AQG是定值.

1)證明:連接OA、OD,如圖,

D為弧BE的中點,

∴∠BOD=DOE =90°,

∴∠D+OFD=90°

AC=FC,OA=OD

∴∠CAF=CFA,OAD=D

而∠CFA=OFD,

∴∠OAD+CAF=90°,

即∠OAC=90°

OAAC,

AC是⊙O切線;

2OD=rOF=17﹣r,

RtDOF中,r2+17﹣r2=132

解得r=5(舍去),r=12

即⊙O的半徑r12;

3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠AQG的大小不變.

∵∠OAC=90°

HGBC,

∴∠OGH=90°

∵點QOH的中點,

AQ=OQ=HQ=GQ

∴點AO、G、H在以點Q為圓心,QO為半徑的圓上,

∴∠AQG=2AOG

∵∠ABC=30°,

∴∠AOC=60°

∴∠AQG=120°

∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于120°

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答:我抽取的2張卡片是 ,乘積的最大值為

(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小,如何抽?最小值是多少?

答:我抽取的2張卡片是 ,商的最小值為

(3)從中取出4張卡片用學過的運算方法,使結(jié)果為24如何抽取?寫出運算式子.(寫出一種即可

答:我抽取的4張卡片是 、 、 、 ,

算24的式子為

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