Question

20．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C；E是線段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，與y軸和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)B、D兩點(diǎn)；連結(jié)AB、BC、CD、DA．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含有m的代數(shù)式表示）；
（2）判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是正方形？并求出此時(shí)AD所在直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在雙曲線上，確定出A坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)E，D坐標(biāo)；
（2）由（1）得到的點(diǎn)B，D，E的坐標(biāo)判斷出EB=ED，AE=EC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，再用BD⊥AC即可；
（3）由（2）結(jié)合AC=BD建立方程求出m，從而得到點(diǎn)D，A坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{8}{m}$，
∵E是AC的中點(diǎn)，AC⊥x軸，
∴E（m，$\frac{4}{m}$），
∵BD⊥AC，AC⊥x軸，
∴BD∥x軸，
∴點(diǎn)B，E，D的縱坐標(biāo)相等，為$\frac{4}{m}$，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2m，
∴D（2m，$\frac{4}{m}$）；
（2）四邊形ABCD是菱形，
∵B（0，$\frac{4}{m}$），E（m，$\frac{4}{m}$），D（2m，$\frac{4}{m}$），
∴EB=ED=m，
∵AE=EC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BD⊥AC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（3）∵平行四邊形ABCD是菱形，
∴當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，
∴2m=$\frac{8}{m}$，
∴m=2，或m=-2（舍），
∴A（2，4），D（4，2），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AD解析式為y=-x+6，
∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形ABCD是正方形，此時(shí)直線AD解析式為y=-x+6．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，平行四邊形，菱形正方形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問(wèn)題．