Question

已知拋物線與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)E為直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DE∥y軸交拋物線于點(diǎn)D．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-1），連接AD，點(diǎn)P在x軸上，使△APC與△ADC相似，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、O、C為頂點(diǎn)，OC為一邊的平行四邊形？若存在請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于拋物線與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-3），根據(jù)待定系數(shù)法即可得到拋物線y=ax²+bx+c的表達(dá)式；
（2）由圖可知△ADC與△CPA相似，P點(diǎn)只能在A點(diǎn)右側(cè)，分兩種情況：若△ADC∽△CPA；若△ADC∽△PCA；進(jìn)行討論即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式，再分兩種情況：DE在y軸的右邊和DE在y軸的左邊；進(jìn)行討論即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-3），
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

．
∴拋物線y=ax²+bx+c的表達(dá)式為y=x²+2x-3；
（2）∵E（-2，-1）且DE∥y軸，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同為-2，
將x=-2代入拋物線解析式中得：y=-3
∴D（-2，-3）
又∵C（0，-3）
∴DC∥x軸且DC=2
∴∠BAC=∠ACD，
又∵A（-3，0），C（0，-3），
∴OA=OC=3，
∴AC=

32+32

=3

2

由圖可知△ADC與△CPA相似，P點(diǎn)只能在A點(diǎn)右側(cè)，
若△ADC∽△CPA，則

CD

AP

=

CA

AC

即

2

AP

=1，
解得：AP=2，
∴P（-1，0）
若△ADC∽△PCA，則

CD

CA

=

AC

AP

即

2

3 2

=

3 2

AP

，
解得：AP=9，
∴P（6，0）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）或（6，0）；
（3）答：存在滿足條件的E點(diǎn)．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則

-3k+b=0 b=-3

解得

k=-1 b=-3

．
故直線AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-m-3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²+2m-3），
當(dāng)DE在y軸的右邊時(shí)，m²+2m-3-（-m-3）=3，解得m₁=

-3+ 21

2

，m₂=

-3- 21

2

（不合題意舍去），
則-m-3=

-3- 21

2

，
則E₁（

-3+ 21

2

，

-3- 21

2

）；
當(dāng)DE在y軸的左邊時(shí)，m²+2m-3-（-m-3）=3，解得m₁=

-3+ 21

2

（不合題意舍去），m₂=

-3- 21

2

，
則-m-3=

-3+ 21

2

，
則E₂（

-3- 21

2

，

-3+ 21

2

）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)E1(

-3+ 21

2

，

-3- 21

2

)，E2(

-3- 21

2

，

-3+ 21

2

)．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式，待定系數(shù)法求直線的表達(dá)式，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．