Question

已知a、b為整數，若一元二次方程x²-ax^a-b+（2a-b-1）x+a²+a-b-4=0的根都是整數，求a、b的值．

Answer 1

解：根據題目分三種情況討論：
①當a-b=2即b=a-2時，
原方程可化為：（1-a）x²+（a+1）x+（a-2）=0，
設方程兩根為：x₁，x₂，則：x₁+x₂=，x₁x₂=，
∵x₁，x₂為整數，∴x₁+x₂=，x₁x₂=均為整數，
可得：或者；
②當a-b=1即b=a-1時，
原方程可化為：x²+a²-3=0，
當：x₁，x₂，a，b為整數時，無解；
③當a-b=0即a=b時，
原方程可化為：x²+（a-1）x+a²-a-4=0，
x₁+x₂=1-a，x₁x₂=a²-a-4，
可得有無數組a，b，x₁，x₂滿足題意．
分析：因為方程x²-ax^a-b+（2a-b-1）x+a²+a-b-4=0為一元二次方程，且兩根和a，b均為整數，根據根與系數的關系和一元二次方程的定義分情況討論分別求解a，b值，即可得出答案．
點評：本題主要考查根與系數的關系及一元二次方程的定義，難度較大，關鍵根據題意分情況討論可能的各種情況，掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．