Question

如圖，∠XOY=90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C為垂足，若OA+OB+OC=1
（1）在射線OX，OY上是否存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形？如果存在，這樣的等腰三角形有幾個(gè)？如果不存在，說(shuō)明理由．
（2）求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）存在，因?yàn)榈妊�三角形的腰和底不確定，所以要分兩種情況討論；
（2）先過(guò)AP與OW的交點(diǎn)作EF⊥OB，根據(jù)已知條件得出∠AEO=∠CEP=45°，再根據(jù)sin45°=

AE

OE

=

CP

EP

=

EF

OP

，表示出個(gè)邊的值，再進(jìn)行相加，即可得出答案．

解答：解：（1）存在，
理由如下：
∵等腰三角形的腰和底不確定，當(dāng)OC為底時(shí)，作OC的垂直平分線交OX，OY兩點(diǎn)此時(shí)的△OCD是等腰三角形；
當(dāng)OC為腰時(shí)，分別以O(shè)和C為圓心OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OX，OY于四點(diǎn)此時(shí)的△OCD是等腰三角形；
∴這樣的等腰三角形有6個(gè)；
（2）過(guò)AP與OW的交點(diǎn)作EF⊥OB，
∵∠XOY=90°，OW平分∠XOY，
∴∠AOC=∠COB=45°，
∴∠AEO=∠CEP=45°，
∴sin45°=

AE

OE

=

CP

EP

=

EF

OP

，
∴AE=

2

2

OE，EP=

2

CP，OE=

2

EF，
∵cos45°=

EC

EP

，
∴EC=

2

2

EP，
∵AO=EF，OF+EP=OB，OC=OE+EC，
∴OC=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的度數(shù)表示出各個(gè)邊．