Question

3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A（-2，0），B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使AH+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，是的以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式列方程組解決問(wèn)題．
（2）如圖1，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，與拋物線對(duì)稱軸聯(lián)立求出H坐標(biāo)即可；
（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)△ACB∽△ABM時(shí)；（ii）當(dāng)△ACB∽△MBA時(shí)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，確定出m的值即可．

解答 解：（1）A（-2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式
得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a+2b+c=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（2）如圖1，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，

由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B與C坐標(biāo)代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=1，得到y(tǒng)=$\frac{3}{2}$，即H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）不存在．
分兩種情況考慮：
（i）不妨設(shè)△ACB∽△ABM時(shí)，如圖2中，

則有∠CAB=∠MAB=45°，
∴直線AM為y=-x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-10}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（8，-10），
此時(shí)AM=10$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AB}{AM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{AB}{AM}$≠$\frac{AC}{AB}$，
∴△ABC與△AMB不相似．

（ii）不妨設(shè)△ACB∽△MBA時(shí)，如圖3中，

則∠ABC=∠MAB，
∴BC∥AM，
∵直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直線AM解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴AM=4$\sqrt{5}$，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AB}{AM}$=$\frac{6}{4\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴$\frac{BC}{AB}$≠$\frac{AB}{AM}$，
△ACB與△MBA不相似．
綜上所述，在第四象限內(nèi)，拋物線上不存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．