Question

小林在課堂上探索出只用三角尺作角平分線的一種方法：如圖，在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON，再過點(diǎn)M作OB的垂線，過點(diǎn)N作OA的垂線，垂足分別為C、D，兩垂線交于點(diǎn)P，那么射線OP就是∠AOB的平分線．老師當(dāng)場(chǎng)肯定他的作法，并且表揚(yáng)他的創(chuàng)新．但是小林不知道這是為什么．
①你能說明這樣做的理由嗎？也就是說，你能證明OP就是∠AOB的平分線嗎？
②請(qǐng)你只用三角板設(shè)法作出圖∠AOB的平分線，并說明你的作圖方法或設(shè)計(jì)思路．

Answer 1

【答案】分析：①在△OCM和△ODN中，得出OC=OD，進(jìn)而得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．
②可作出兩個(gè)直角三角形，利用HL定理證明兩角所在的三角形全等．
解答：①證明：在△OCM和△ODN中，
，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC=OD，
在△OCP與△ODP中，
∵，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
即OP平分∠AOB；

②解：a．利用刻度尺在∠AOB的兩邊上分別取OC=OD；
b．過C，D分別作OA，OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)E；
c．作射線OE，OE就是所求的角平分線．
∵CE⊥OA，ED⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
在Rt△OCE與Rt△ODE中，
∵，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴∠EOC=∠EOD，
∴OE為∠AOB的角平分線．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的判定得出∠EOC=∠EOD是解題關(guān)鍵．