Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）如圖2，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）， .

【解析】

（1）已知拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對(duì)稱軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)CP＝PM時(shí)，P位于CM的垂直平分線上．求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過(guò)P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的長(zhǎng)，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ＝3﹣x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．

②當(dāng)CM＝MP時(shí)，根據(jù)CM的長(zhǎng)即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點(diǎn)）．

③當(dāng)CM＝CP時(shí)，因?yàn)?/span>C的坐標(biāo)為（0，3），那么直線y＝3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題解答；

（4）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過(guò)E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），

∴，

解得：．

∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如答圖1，

∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其對(duì)稱軸為x＝＝﹣1，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，a），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴當(dāng)CP＝PM時(shí)，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（﹣1，）；

∴當(dāng)CM＝PM時(shí)，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；

∴當(dāng)CM＝CP時(shí)，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（﹣1，6）．

綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；

（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：

如答圖2，點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．

設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+t（k≠0）．

將點(diǎn)A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，

解得，

所以，直線AC′函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+1．

將x＝﹣1代入，得y＝2，

即：Q（﹣1，2）；

（4）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a

∴S四邊形BOCE＝BFEF+（OC+EF）OF

＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）（﹣a）

＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，

∴當(dāng)a＝﹣時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．

此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣ ，）．