(2013•松江區(qū)二模)如圖,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,點(diǎn)D在邊AC上,△ABD沿BD翻折,點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)E重合,過點(diǎn)B作BG∥AC交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求CD的長(zhǎng);
(2)如果AC=x,AD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域;
(3)聯(lián)結(jié)CG,如果∠ACB=∠CGB,求AC的長(zhǎng).
分析:(1)通過解Rt△ABC求得AC=4
3
;然后由折疊的性質(zhì)得到∠ABD=30°,則AD=ABtan30°=
4
3
3
,故CD=AC-AD=
8
3
3

(2)易證△CED∽△CAB,則該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例:
ED
AB
=
CE
CA
;根據(jù)折疊的性質(zhì)得到:ED=AD=y,EC=BC-AB=BC-4,又由勾股定理知BC=
AB2+AC2
=
16+x2
,所以,把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入比例式可以求得y=
4
16+x2
-16
x
(x>0);
(3)過點(diǎn)C作CH⊥BG,垂足為H.通過△ABD∽△BGA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到
AB
BG
=
AD
BA
,即
4
2x
=
4
16+x2
-16
x
4
,解得x=2
5
(負(fù)值已舍),即AC=2
5
解答:解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,
∵AB=4,
∴AC=ABtan60°=4
3

由翻折得∠ABD=30°,得AD=ABtan30°=
4
3
3
,
∴CD=AC-AD=
8
3
3
;

(2)由翻折得∠BED=∠BAD=90°,
∴∠CED=90°,
∴∠CED=∠CAB,
又∵∠DCE=∠DCE,
∴△CED∽△CAB,
ED
AB
=
CE
CA
,
∵根據(jù)折疊的性質(zhì)得到:ED=AD=y,EC=BC-AB=BC-4,
又由勾股定理知BC=
AB2+AC2
=
16+x2
,
y
4
=
16+x2
-4
x

∴y=
4
16+x2
-16
x
(x>0);

(3)過點(diǎn)C作CH⊥BG,垂足為H.
∵BG∥AC,
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠CGB,
∴∠2=∠CGB,
∴CB=CG.
∴BH=HG=AC=x,∴BG=2x.
∵AE⊥BD,
∴∠5+∠6=∠6+∠7=90°,
∴∠5=∠7.
又∵∠BAC=∠ABG=90°,
∴△ABD∽△BGA,
AB
BG
=
AD
BA
,即
4
2x
=
4
16+x2
-16
x
4

解得x=2
5
(負(fù)值已舍),即AC=2
5
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì),翻轉(zhuǎn)折疊以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.
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(2013•松江區(qū)二模)用換元法解方程
x-3
x
-
2x
x-3
=1
時(shí),可以設(shè)y=
x-3
x
,那么原方程可以化為( 。

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AD
=
a
EF
=
b
,那么
BC
=
2
b
-
a
2
b
-
a
.(用
a
、
b
表示).

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2
3
2
3

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