Question

（12分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

（1）y=－+x+2；（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．

【解析】

試題分析：（1）首先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（2）首先根據(jù)題意判定△ABE只能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形，然后求出BC的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形相似求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0,2） ∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a+bx+2

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得： 解得：

∴拋物線的解析式為：y=－+x+2

（2）存在

由圖象可知，以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在，所以△ABE只可能

是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==．

在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則×h=×2×4， ∴h=．

∵△BEA∽△COB，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）， ∴=，∴y=±2

將y=2代入拋物線y=－+x+2，得=0，=3．

當(dāng)y=﹣2時(shí)，不合題意舍去．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形相似的應(yīng)用.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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