Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在優(yōu)弧上．

（1）求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試確定經(jīng)過(guò)A、B且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；

（3）在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1-，0），B（1+，0）．（2）y=-x2+2x+2．（3）存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長(zhǎng)，再根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性，即可得出圓心C和P點(diǎn)必在拋物線的對(duì)稱軸上，因此可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．然后可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式．根據(jù)A或B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式．

（3）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點(diǎn)在y軸上，且坐標(biāo)為（0，2）．然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點(diǎn)．

試題解析：（1）如圖，作CH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，

∵CH=1，半徑CB=2

∴HB=，

故A（1-，0），B（1+，0）．

（2）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），

設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）2+3，

把點(diǎn)B（1+，0）代入上式，解得a=-1；

∴y=-x2+2x+2．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形

∴PC∥OD且PC=OD．

∵PC∥y軸，

∴點(diǎn)D在y軸上．

又∵PC=2，

∴OD=2，即D（0，2）．

又D（0，2）滿足y=-x2+2x+2，

∴點(diǎn)D在拋物線上

∴存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．