Question

21、如圖，等腰△OBD中，OD=BD，△OBD繞點O逆時針旋轉一定角度后得到△OAC，此時正好B、D、C在同一直線上，且點D是BC的中點．
（1）求△OBD旋轉的角度；
（2）求證：四邊形ODAC是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質可以證得△ODC是等邊三角形，即可求得旋轉角；
（2）根據△OBD是等腰三角形，且△ODC是等邊三角形，即可證得∠ACD=60°，則△ACD是等邊三角形，即可證得四邊形ODAC的四條邊都相等，從而求證．

解答：解：（1）∵OD=BD，CD=BD，
∴OD=CD=BD，
又△OBD≌△OAC，
∴OD=OC，
△ODC是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
即△OBD旋轉的角度為60°；

（2）∵△OBD≌△OAC，△ODC是等邊三角形，
∴OD=OC，BD=AC，OB=OA，
∠OCA=∠ODB=180°-60°=120°，
∴∠ACD=∠OCA-∠OCD=120°-60°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴OD=OC=AC=AD，
∴四邊形ODAC是菱形．

另解：連接AB，由（1）得：∠AOB=60°又OB=OA，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，（7分）
∴OD=OC=BD=AC，
∴BC垂直平分OA，
∴OD=AD，（9分）
∴OD=OC=AC=AD，（11分）
∴四邊形ODAC是菱形．（12分）

點評：本題主要考查了等邊三角形的判定，以及菱形的判定，正確理解等邊三角形與菱形的判定方法是解題的關鍵．