Question

18．在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．
（1）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；
（2）在圖1中，當∠PAB＜45°時，∠BEF是否為定值？如果是求其度數(shù)；如果不是，說明理由．
（3）在圖2中，若45°＜∠PAB＜90°，請直接在圖中補全圖形，∠BEF的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若會發(fā)生變化，說明如何變化；若不會，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在等腰三角形ABE中求得∠EAB的度數(shù)，在等腰三角形EAD中求得∠EAD的度數(shù)，即可得到∠ADF的度數(shù)；
（2）先設∠PAB=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠AEB和∠AED的度數(shù)，根據(jù)∠BEF=∠AEB-∠AED即可得到∠BEF為定值；
（3）先設∠PAB=β，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠AEB和∠AED的度數(shù)，根據(jù)∠BEF=∠AED+∠AEB即可得到∠BEF為定值．

解答 解：（1）∵點B關于直線AP的對稱點為E，∠PAB=20°，
∴AE=AB，∠EAB=40°，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠EAD=130°，
∴等腰三角形AED中，∠ADF=25°；

（2）如圖1，設∠PAB=α，則∠EAB=2α，
∴∠AEB=90°-α，∠AED=$\frac{180°-（90°+2α）}{2}$=45°-α，
∴∠BEF=∠AEB-∠AED=90°-α-（45°-α）=45°；

（3）如圖所示，∠BEF的度數(shù)不會發(fā)生變化，仍為45°
設∠PAB=β，
同理可得，∠EAB=2β，∠AEB=90°-β，
∴∠EAD=360°-90°-2β=270°-2β，
∴等腰三角形ADE中，∠AED=$\frac{180°-（270°-2β）}{2}$=β-45°，
∴∠BEF=∠AED+∠AEB=β-45°+90°-β=45°（定值）．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得其底角或頂角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關系得出結(jié)論．解題時注意，如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．