如圖所示,在四邊形ABCD中,M是BC中點,AM、BD互相平分于點O,求證:AM=DC且AM∥DC.

證明:連接DM,如圖所示,
∵AM、BD互相平分于點O,即AO=OM,BO=DO,
∴四邊形ABMD為平行四邊形,
∴AD=BM,AD∥BM,
又M為BC的中點,∴BM=CM,
∴AD=MC,AD∥MC,
∴四邊形AMCD為平行四邊形,
則AM=DC且AM∥DC.
分析:連接DM,由AM與BD互相平分,利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到ABMD為平行四邊形,利用平行四邊形的對邊平行且相等得到AD與BM平行且相等,由M為BC的中點,得到BM=CM,利用等量代換可得出AD=MC,又AD與MC平行,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到AMCD為平行四邊形,利用平行四邊形的對邊平行且相等,即可得證.
點評:此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),以及線段中點定義,利用了等量代換的思想,熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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