Question

觀察下列勾股數(shù)組：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫出：
（1）當(dāng)a=19時(shí)，則b、c的值是多少（2）當(dāng)a=2n+1時(shí)，求b、c的值．你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=19時(shí)，設(shè)b=k，則c=k+1，觀察有如下規(guī)律：19²+k²=（k+1）²?k=180，故b=180，c=181．
（2）當(dāng)a=2n+1時(shí)，設(shè)b=k，則c=k+1，根據(jù)勾股定理：a²+b²=c²?（2n+1）²+k²=（k+1）²?k=2n（n+1），即b=2n（n+1），
c=2n（n+1）+1．
證明：a²+b²=（2n+1）²+[2n（n+1）]²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，[2n（n+1）+1]²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，所以a²+b²=c²，
所以a、b、c組成的三角形是直角三角形．
分析：它們?nèi)齻�(gè)一組，都是勾股數(shù)，一組勾股數(shù)中，并且第一個(gè)都是奇數(shù)，并且從3開始的連續(xù)奇數(shù)，每一組勾股數(shù)的第二，第三個(gè)數(shù)是連續(xù)整數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方減去一除以二．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的觀察能力和勾股定理的逆定理，難度比較大．