Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G，對角線BD相交于點H，若BD=BF，求BE的長．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD正方形，BF=BD=10$\sqrt{2}$，由DF⊥DE，易證得△ADE≌△CDF，即可求得BE的長；

解答 （1）解：∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=10，
∴BD=10$\sqrt{2}$．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=DC}\\{∠A=∠DCF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
又∵BD=BF=10$\sqrt{2}$，
∴AE=CF=BF-BC=10$\sqrt{2}$-10，
∴BE=AB-AE=10-（10$\sqrt{2}$-10）=20-10$\sqrt{2}$，
即BE的長為20-10$\sqrt{2}$；

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．